ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน H = T + V {\displaystyle H=T+V} เมื่อ T {\displaystyle T} คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ V {\displaystyle V} คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

กรณีทั่วไป

[1]เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
L ( q , p ) = T ( q ˙ 2 ) − V ( q ) {\displaystyle L(q,p)=T({\dot {q}}^{2})-V(q)}
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
T ( q ˙ ) = 1 2 ∑ i , k a i k q ˙ i q ˙ k {\displaystyle T({\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}}
โดยที่ a i k = a i k ( q ) {\displaystyle a_{ik}=a_{ik}(q)} อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
p i ( q , p ) = ∂ L ∂ q ˙ i = ∂ T ∂ q ˙ i = ∑ k a i k q ˙ k {\displaystyle p_{i}(q,p)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}}
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
q i ( q , p ) = f i ( q , p , t ) {\displaystyle q_{i}(q,p)=f_{i}(q,p,t)}
เมื่อ f i ( q , p ) {\displaystyle f_{i}(q,p)} คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
∑ i q ˙ i p i = ∑ i , k q ˙ i a i k q ˙ k = 2 T {\displaystyle \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}=\sum _{i,k}{\dot {q}}_{i}a_{ik}{\dot {q}}_{k}=2T}
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
H ( q , p ) = ∑ i q ˙ i p i − L = 2 T − ( T − V ) = T ( p ) + V ( q ) {\displaystyle H(q,p)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L=2T-(T-V)=T(p)+V(q)}
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
L ( q , q ˙ , t ) = 1 2 ∑ i , k a i k q ˙ i q ˙ k + ∑ i b i q ˙ i − V ( q ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-V(q)}
โดยที่ a i k {\displaystyle a_{ik}} และ b i {\displaystyle b_{i}} อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
p i = ∑ k a i k q ˙ k + b i {\displaystyle p_{i}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}+b_{i}}
ดังนั้น
H ( q , p , t ) = ∑ p i q ˙ i − L = 2 T + ∑ i b i q ˙ i − L = 1 2 ∑ i , k a i k q ˙ i ( q , p , t ) q ˙ k ( q , p , t ) + V ( q ) {\displaystyle H(q,p,t)=\sum {p_{i}{\dot {q}}_{i}}-L=2T+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-L={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}(q,p,t){\dot {q}}_{k}(q,p,t)+V(q)}
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" H = T + V {\displaystyle H=T+V}

ตัวอย่าง

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
L ( r , ϕ ) = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 ) − V ( r ) {\displaystyle L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)}
เป็นฟังก์ชันของ r ˙ 2 , ϕ ˙ 2 , r {\displaystyle {\dot {r}}^{2},{\dot {\phi }}^{2},r} โดย a r r = m {\displaystyle a_{rr}=m} และ a ϕ ϕ = m r 2 {\displaystyle a_{\phi \phi }=mr^{2}} ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม e c A ⋅ r ˙ {\displaystyle {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}} ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์